DISTANZA TRA DUE PUNTI

1° caso: segmento non parallelo agli assi

Esempio:

Calcolare la distanza tra i punti A(2; -5) e B(1; 2), ovvero la misura del segmento AB

Applichiamo la formula:

1° caso particolare: distanza di un punto P dall’origine O(0; 0)

In tal caso la formula generale (1) si riduce a:

Esempio:

Calcolare la distanza del punto P(-3;-4)  dall’origine O degli assi.

Applichiamo la formula:

N.B.: Nulla cambia se applichiamo la formula generale (1) della distanza tra due punti.

2° caso particolare: segmento parallelo all’asse x

Esempio:

Calcolare la distanza tra i punti A( 2; 3)  e B(-5; 3).

Come si osserva i due punti hanno la medesima ordinata quindi il segmento che li congiunge è parallelo all’asse delle x. Applichiamo dunque la formula:

N.B.:Otteniamo la stessa misura del segmento se applichiamo la formula generale (1) della   

         distanza tra due punti.

3° caso particolare: segmento parallelo all’asse y

Esempio:

Calcolare la distanza tra i punti A(-4; -6)  e B(-4; 8).

Come si osserva i due punti hanno la medesima ascissa quindi il segmento che li congiunge è parallelo all’asse delle y. Applichiamo dunque la formula:

N.B.:Otteniamo la stessa misura del segmento se applichiamo la formula generale (1) della   

         distanza tra due punti.

 COORDINATE DEL PUNTO MEDIO

Tali formule si applica anche nel caso in cui il segmento è parallelo ad uno degli assi.

Esempio

Calcolare le coordinate del punto medio del segmento di estremi A(5; -6) e B(-4; -8)

 PUNTI SIMMETRICI

P₃(-x;- y)

Esercizio

Dato il punto A(6;3) determinare il suo simmetrico rispetto:

a) all’asse x

b) all’asse y

c) all’origine

d) al punto B(5;5)

a) Si ha il punto A₁(6; -3)

b) Si ha il punto A₂(-6; 3)

c) Si ha il punto A₃(-6; -3)

d) Per determinare il simmetrico di A rispetto al punto B(5; 5), procediamo nel seguente modo:

Se indichiamo con A’ il simmetrico di A rispetto a B allora i due segmenti AB e A’B devono avere la stessa lunghezza e quindi B è il punto medio di AA’. Pertanto da:

Quindi si ha A’(4; 7).

Problema

Verificare che il triangolo di vertici A(-1; 2), B(3; 5), C(6; 1) è rettangolo isoscele e calcolare la misura  p del suo perimetro e la misura S della sua area.

Rappresentiamo dapprima nel piano cartesiano il triangolo:

fig.1

Per verificare che il triangolo ABC è isoscele basta calcolare le misure dei lati, con la formula della distanza tra due punti, e vedere se due di essi sono uguali:

OSSERVAZIONE

Riguardo l’area, se consideriamo AB come base allora l’altezza ad essa relativa è BH , vedi fig.2

fig.2

Ricordando che in un triangolo isoscele l’altezza relativa al lato disuguale coincide con la mediana (segmento che unisce un vertice del triangolo con il punto medio del lato opposto), per calcolare dunque l’altezza BH basta calcolare la distanza tra il punto B e il punto medio H del lato AC: