Dovendo risolvere adesso le disequazioni goniometriche non elementari ma ad esse riconducibili, è bene rivedere:

§ Le  Premesse alle disequazioni goniometriche

§ Lo Schema riassuntivo delle disequazioni elementari

§ Lo Schema riassuntivo delle disequazioni algebriche di 2° grado

In generale:

si procede cercando, dapprima, di rendere uguali gli argomenti, se diversi, delle funzioni presenti e, poi, di trasformare, mediante l’utilizzo di relazioni o formule goniometriche, la disequazione in una sola funzione goniometrica, sempre nel caso in cui siano presenti più funzioni, e quindi in una o più disequazioni elementari.

ESERCIZI GUIDATI

Risolvere le seguenti disequazioni goniometriche:

Come si osserva la condizione composta: è verificata per tutti gli archi di circonferenza situati all’interno delle due rette parallele all’asse delle x, ovvero gli archi PB e BP’ escluso i punti trattandosi di una disuguaglianza stretta; pertanto, partendo dall’origine A degli archi,  le soluzioni nell’intervallo [0; 2π] sono:

Come si osserva la condizione composta: è verificata per tutti archi di circonferenza situati all’esterno delle due rette parallele all’asse delle x, ovvero o l’arco PP’ o l’arco P’’P’’’, escluso i punti trattandosi ancora di una disuguaglianza stretta; pertanto, partendo dall’origine A degli archi,  le soluzioni nell’intervallo [0; 2π] sono:

Come si osserva la condizione composta: è verificata per tutti gli archi di circonferenza situati all’interno delle due rette parallele all’asse delle y, ovvero gli archi PP’ e P’’P‘’’ escluso i punti trattandosi di una disuguaglianza stretta; pertanto, partendo dall’origine A degli archi,  le soluzioni nell’intervallo [0; 2π] sono:

Come si osserva la condizione composta: è verificata per tutti gli archi di circonferenza situati all’esterno delle due rette parallele all’asse y ovvero o per l’arco P’’’P o per l’arco P’P’’, escluso i  punti stessi trattandosi ancora di una disuguaglianza stretta; pertanto, partendo dall’origine A degli archi,  le soluzioni nell’intervallo [0; 2π] sono:

Si tratta di determinare, con l’aiuto della circonferenza goniometrica, gli angoli X aventi tangente o minore di -1 o maggiore di 0.

Tracciamo la circonferenza goniometrica e la tangente in A, dove riportiamo i valori -1 e 0 che coincide con A:

Come si osserva gli angoli aventi tangente positiva o minore di -1 sono associati ai punti che stanno o sull’arco AB o sull’arco BP o sull’arco CD o sull’arco DP’, escluso gli estremi degli archi ; pertanto, partendo dall’origine degli archi A, le soluzioni in [0; 2π] sono:

Compiliamo il quadro riassuntivo dei segni:

Come si osserva, verificano la condizione composta gli archi P’’’P e P’’P’, escluso i punti estremi essendo una disuguaglianza stretta; partendo dall’origine A degli archi,  si hanno dunque le soluzioni:

0°< x <60°  V  150°< x < 240°  V  330°< x < 360°

Come si osserva, le soluzioni della disequazione data sono:

Compiliamo il quadro dei segni:

La parte colorata in celeste individua gli intervalli comuni alle due disequazioni, quindi il sistema dato è verificato per , escluso gli estremi perché soluzioni della (1) e non della (2).