La derivata come operatore: la Funzione Derivata

Abbiamo visto che la derivata di una funzione in un punto x_o , in cui è derivabile, è un numero ben determinato. Precisamente, ad ogni valore x_o appartenente a D, corrisponde uno ed un solo valore reale f ’(x_o), cioè la derivata della funzione calcolata in quel punto: questo significa che  l’operazione di derivazione, che indicheremo con D[f(x)], applicata alla funzione f(x) in un punto x, generico ma fissato, in cui è derivabile e calcolata come limite del rapporto incrementale,  è una funzione della variabile x, che indicheremo con f ‘(x) e che chiameremo funzione derivata.

Questa funzione ci consente, dunque, di determinare la derivata f ‘(x) di una funzione in ogni punto  in cui è  derivabile. Se poi nell’espressione trovata si sostituisce ad x il numero x_o si ottiene f ’(x_o).

Fatta questa premessa, si riporta qui di seguito la tabella delle  funzioni derivate ( o semplicemente derivate) fondamentali di funzioni (dedotte tramite il calcolo del limite del rapporto incrementale nel generico punto x ) e le regole di derivazione di somme, prodotti e quozienti che ci consentiranno di semplificare le procedure di calcolo, spesso laboriose, che si devono affrontare per determinare la derivata di una funzione.

Tabella riassuntiva delle derivate fondamentali e delle regole di derivazione

Osservazioni:

1) Ricordiamo che la derivata della funzione reciproca di f(x):

2) La derivata della funzione composta esponenziale:

y = [f(x)]^g(x)

      con f(x) e g(x) funzioni derivabili e f(x)>0, si calcola procedendo in tal modo:

Esercizi guidati

Calcolare le derivate delle seguenti funzioni, stando ben attenti prima di derivare a  ricorrere ad opportune trasformazioni, quando necessità, di alcune espressioni algebriche presenti nella y = f(x) in modelli riconducibili a quelli proposti nella tabella delle derivate e delle regole di derivazione: