Scriviamo l’equazione nella forma canonica:

si tratta di determinare quegli angoli x aventi un dato coseno b.

Poiché il coseno di un angolo rappresenta l’ascissa del punto della circonferenza goniometrica, risolvere l’equazione data significa determinare gli angoli associati (o corrispondenti) ai punti della circonferenza goniometrica aventi stessa ascissa b.

Utilizzando il Metodo della circonferenza e la definizione di coseno, il problema pertanto si risolve trovando questi punti della circonferenza goniometrica, in quanto una volta trovati questi si individuano i corrispondenti angoli al centro le cui ampiezze non sono altro che le soluzioni dell’equazione data.

Vediamo dunque in generale i vari passi risolutori:

1.  consideriamo dapprima l’equazione

ovvero determiniamo al solito gli angoli x che si individuano in una sola circonferenza, cioè in un angolo giro.     

Per quanto detto, dobbiamo determinare i  punti della circonferenza  goniometrica aventi stessa ascissa  b e di conseguenza le soluzioni sono le ampiezze degli angoli ad essi associati.

2. determiniamo tali punti: disegniamo nel piano cartesiano la circonferenza goniometrica e la retta parallela all’asse delle y:  x = b che come sappiamo è il luogo dei punti del piano aventi medesima ascissa; tale retta, se -1< b <1,  intersecherà la circonferenza in due punti distinti P e P’, aventi evidentemente stessa ascissa b che, per definizione, rappresenta il coseno: e precisamente

3. determiniamo gli angoli associati ai punti: a tal scopo, congiungiamo i due punti P e P’ al centro della circonferenza e consideriamo i due angoli associati aventi come lato origine OA, essendo A(0,1) origine di tutti gli archi, e aventi come secondo lato rispettivamente OP e OP’; indichiamo con a il minimo angolo, cioè quello che cade nel primo quadrante, tale che cos a = I b I; vedi figure:

4. Le soluzioni: come si osserva in figura, i due angoli associati, soluzioni dell’equazione, sono esplementari (o equivalenti angoli opposti che ricordiamo hanno stesso coseno!): a e 360° - a ( fig.a) oppure 180° - a e 180° + a (fig.b) a seconda del segno di b .

In  generale, per la determinazione delle soluzioni in gradi o in radiante, si ha il seguente schema:

Schema Riepilogativo

ESERCIZI SVOLTI

Risolvere le seguenti equazioni goniometriche elementari in coseno:

Si hanno dunque le soluzioni:

x = 45°    V x = 315°

Le soluzioni dell’equazione sono dunque:

x = 120°    V x = 240°

Da quanto abbiamo detto oppure ricordando che angoli opposti (o esplementari) hanno lo  stesso coseno, possiamo dunque dire che limitandoci all’intervallo [0°; 360°]:

affinché due angoli abbiano lo stesso coseno è necessario e sufficiente che abbiano uguali gli angoli oppure che l’uno sia uguale all’opposto dell’altro ( o differisca dall’esplementare dell’altro, a meno dei multipli di 360°) :

(*)   cos α = cos β ↔ α = β   V α =  - β   ( oppure α = 360° - β)

Quindi se dobbiamo risolvere l’equazione seguente:

4)    cos ( 2 x – 30° ) = cos x in R

per la  (*) e per la periodicità del coseno  di 360° si scriverà:

   2 x – 30° = x + k 360°    V    2 x – 30° =  – x + k 360°

da cui si ottiene rispettivamente:

2 x – x  = 30° + k 360°    V     2 x +  x  = 30°+ k 360°

x  = 30° + k 360°     V     3 x  = 30°+ k 360°

dividendo ciascun termine di ambo i membri della seconda equazione per 3 si hanno in definitiva le seguenti soluzioni:

x  = 30° + k 360°     V x  = 10°+ k 120°