Per determinare l’equazione di una retta tangente a una parabola passante per un punto P assegnato utilizzeremo il metodo generale,  già descritto nella circonferenza e che ricordiamo è detto generale proprio perché è valido per qualsiasi conica.

Tenendo presente che tale punto non può essere interno alla concavità della parabola stessa, si presentano due soli casi:

Richiamiamo quindi per la risoluzione del problema della tangente alla parabola il

METODO GENERALE:

• si verifica dapprima se il punto P appartiene alla parabola
• se vi appartiene allora da quel punto si può condurre una ed una sola retta tangente alla parabola
• se non vi appartiene, ossia P è esterno, allora esistono due rette tangenti alla parabola

1. si scrive l’equazione della generica retta passante per un punto noto P(x₁; y₁):

y – y₁ = m ( x – x₁)

2. si imposta il sistema fra le equazioni della parabola e della generica retta:

3. per confronto o sostituzione si ottiene l’equazione risolvente il sistema di 2° grado

4. si pone ∆ = 0 (condizione di tangenza) affinché la retta diventi tangente alla parabola

5. si risolve l’equazione così ottenuta nell’incognita m e indicate con m₁ e  m₂  le soluzioni si hanno i seguenti due casi:

§ m₁ ≠ m_{2 ,} cioè esistono due rette tangenti, quando il punto P è esterno alla parabola

§ m₁ = m₂ , cioè esiste una sola retta tangente, quando P appartiene alla parabola

6. si sostituisce la soluzione o le soluzioni trovate nell’equazione della generica retta

1. Problema

Data la parabola  y = 3 x ² – 2 x – 3, trovare l’equazione della retta tangente alla parabola nel suo punto P di ascissa 2.

Seguiamo i passi descritti nel metodo generale per la determinazione della tangente.

Il punto P appartiene alla parabola, essendo:                 

x_P = 2   →   y_P = f ( x_P ) = 3 ^. 2 ² – 2 ^. 2 – 3 = 12 – 4 – 3 =  5  →  P (2; 5)

ed inoltre come sappiamo esiste una sola retta uscente da P tangente alla parabola.

Scriviamo l’equazione della generica retta passante per il punto dato P(2;5):

y – 5 = m ( x – 2)

Impostiamo il sistema fra le equazioni della parabola e della generica retta per P:

2. Problema

Trovare le equazioni delle tangenti alla parabola di equazione   y = 2 x ²– 6   uscenti da

Il punto P è esterno alla parabola, infatti: