1. Per rappresentare graficamente nel piano cartesiano una retta trasversale agli assi, ovvero non parallela agli assi x o y:
§ si esplicita la sua equazione rispetto alla y
§ ricordando poi che per due punti passa una ed una sola retta, diamo due valori arbitrari alla x per ottenere le corrispondenti ordinate e rappresentiamo nel piano cartesiano i due punti della retta così determinati
§ tracciamo infine la linea retta passante per tali punti
Osservazioni
Ø Per trovare i due punti basta anche determinare le intersezioni della retta con gli assi x ed y, risolvendo il sistema tra l’equazione della retta data con l’equazione dell’asse x, y = 0, e poi con quella dell’asse y, x = 0
Ø Se si tiene presente il significato geometrico del termine noto “q” dell’equazione esplicita, che rappresenta l’ordinata all’origine, ovvero il punto (0; q) d’intersezione della retta con l’asse y e che in ogni caso si ottiene per x = 0, in realtà per rappresentare la retta basta determinare arbitrariamente un altro solo punto della retta
2. Per rappresentare graficamente una retta parallela agli assi
§ si esplicita la sua equazione rispetto alla sola variabile presente
§ si riporta nel piano cartesiano il valore ottenuto a 2° membro o nell’asse x o nell’asse y, secondo l’incognita presente, e da quel punto si traccia infine la retta parallela all’altro asse.
ESERCIZI SVOLTI
A) Rappresentare nel piano cartesiano le seguenti rette di equazioni:
a) 2 x - y – 3 = 0
Come si osserva l’equazione data è in forma implicita, rappresenta una retta trasversale agli assi dato che in essa sono presenti entrambe le incognite x e y e non passa per l’origine degli assi perché in essa è presente il termine noto “ – 3 “.
Seguiamo dunque l’algoritmo precedentemente descritto in 1.
Esplicitiamo l’equazione rispetto alla y:
- y = – 2 x + 3 → y = 2 x – 3 (1)
Diamo alla x due valori arbitrari per trovare i corrispondenti valori della y e determiniamo le coordinate dei due punti appartenenti alla retta:
per x = 0 → y = 2 . 0 – 3 = – 3 → A ( 0; -3)
per x = 1 → y = 2 . 1 – 3 = 2 – 3 = -1 → B ( 1; -1)
Tracciamo i due punti nel piano cartesiano e la retta passante per essi, vedi figura:
Osservazioni: dall’equazione (1) y = 2 x - 3 della retta in forma esplicita:
Ø il coefficiente angolare è m = 2, ovvero un numero positivo, e quindi la retta, come si osserva dal suo grafico, forma con l’asse positivo delle ascisse un angolo acuto;
Ø l’ordinata all’origine q = -3 , vedi grafico, è l’intersezione della retta con l’asse y.
Rappresentiamo i punti nel piano cartesiano e congiungiamoli con una linea retta:
Osservazioni: dall’equazione (2) in forma esplicita:
Ø il coefficiente angolare è m = -3/4, ovvero un numero negativo, e quindi la retta, come si osserva dal suo grafico, forma con l’asse positivo delle ascisse un angolo ottuso, maggiore di 90°;
Ø l’ordinata all’origine q = -3 è l’intersezione della retta con l’asse y.
c) y = 2 x
L’equazione rappresenterà ancora una retta trasversale agli assi che attraverserà il I e III quadrante del piano cartesiano, dato che m = 2 è positivo, però passa per l’origine O(0;0) in quanto manca il termine noto.
L’equazione è gia scritta in forma esplicita e passando per O basta determinare un altro solo punto per rappresentare la retta:
per x = 2 → y = 2 . 2 = 4 → A ( 0; 4)
Rappresentiamo i punti nel piano cartesiano e tracciamo la retta passante per essi:
d) 2 x + 6 = 0
Si tratta di una retta parallela all’asse y dato che nella sua equazione manca il termine b, coefficiente della y ; per rappresentarla seguiamo l’algoritmo descritto nel punto 2.
Esplicitiamo l’equazione rispetto alla x:
che rappresenta dunque tutti e solo i punti aventi la stessa ascissa -3. Riportiamo tale valore sull’asse delle ascisse e da questo punto P(-3;0) tracciamo la parallela all’asse y:
N.B.: il coefficiente angolare non si può determinare, infatti dall’equazione d) in forma implicita in quanto risulta
e) y = 3
Si tratta di una retta parallela all’asse delle x, mancando il termine a nell’equazione, infatti rappresenta l’insieme di tutti e solo i punti aventi medesima ordinata 3 e coefficiente angolare m = 0. Possiamo direttamente rappresentarla nel piano, essendo l’equazione in forma esplicita:
B) Individua, basandoti solo sul coefficiente angolare m e sull’ordinata all’origine q, il modello geometrico della retta di equazione y = 2x -2 tra quelli qui di seguito proposti :
Osserviamo che l’equazione data ha:
Ø coefficiente angolare m = 2 > 0 quindi la retta forma con l’asse x un angolo acuto, per cui possiamo escludere la retta a) e prendere in esame i restanti modelli grafici
Ø termine noto q ≠ 0 quindi la retta non passa per l’origine, per cui possiamo escludere anche la retta d) e soffermiamo la nostra attenzione sui modelli b) e c)
Ø l’ordinata all’origine q = -2 mi dà l’indicazione che la retta interseca l’asse y nel punto di ordinata -2 quindi si esclude la b) e pertanto il modello grafico della retta di data equazione è c)